工業力学入門講座（第30回）　理解度確認テスト（固有振動数と危険回転数）

機械技術者の自己啓発支援講座（第30回（最終回））
機械技術者のための　工業力学入門	□ 理解度確認テスト（固有振動数と危険回転数）

機械技術者が日常の業務を進める上で必要となる力学の具体的で実践的な活用方法の習得を目指します。

物体（振動系）は、その物体に固有な物理的性質だけによって決まる固有振動というものを持っています。外部から周期的な外力を加えて物体を強制振動させる場合、外力の角振動数が、その物体の固有振動数に一致すると、物体の振動振幅が無限大になって危険な状態になる、いわゆる共振状態になります。今回は、固有振動数と危険回転数を計算する問題です。

〔演習問題〕

【問題9.2】1,600Ｎの重さのモータがおのおの135Ｎ/mmのバネ定数を有する４個のスプリングで支えられている。共振を起こすモータの危険回転数（rpm）を求めなさい。
　　　　
　
【問題9.3】軸間距離が600mmで、その1／3のところに590Ｎの集中荷重を１個もつ両端支持された軸がある。この軸の危険回転数が1,800rpm以上になるように設計したい。軸径をいくらにすればよいか。但し、軸の自重は無視する。軸は炭素鋼で中実丸軸とする。
　
　

〔解答〕

【問題9.2】
このモータの質量は、1,600N／9.81m／sec2＝163.1kg。従って、１個のスプリングが支える質量ｍは、
　
　　　ｍ＝163.1kg／4＝40.775kg
　
一方、スプリングのバネ定数ｋ＝135Ｎ／mm＝135,000Ｎ／m。
　
これらの値を次式に代入して、固有振動数ｐ（rad／sec）を計算すれば、
　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　＝57.54 rad／sec
　
さらに　　　　　　　　ｐ＝57.54 rad／sec
　　　　　　　　　　　　　＝57.54×60 rad／min　
　　　　　　　　　　　　　＝3,452.4 rad／min
　　　　　　　　　　　　　＝3,452.4／２π　rpm
　　　　　　　　　　　　　＝549.5　rpm
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ans 　549.5 rpm
　
【問題9.3】
両端支持された軸の１個の集中荷重による振れまわり振動の危険回転数ｎ(rpm)は、軸の自重を無視すれば、
次式で与えらる。
　　　　　

　　　　ここで、Ｅ：はり材質の縦弾性係数（＝206,000Ｎ／mm²、炭素鋼に対して）
　　　　　　　　　W：集中荷重（＝590N）
　　　　　　　　　ｇ：重力加速度（＝9.81ｍ／sec²＝9,810mm／ｓｅｃ²）
　　　　　　　　　ａ＝600mm、ｂ＝400mm、ｃ＝200mm
　　　　　　　　　ｎ：危険回転数（＝1,800rpm）
　
上式より、はりの断面二次モーメントＩを逆算すれば、
　　　　
　
　　　　Ｉ＝（πｎ／30）²×Ｗｂ²ｃ²／（3Ｅag）
　　　　　＝（π×1,800rpm／30）²×590N×（400mm）²×
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（200mm）²／（3×206,000N／mm²×600mm×9,810mm／ｓｅｃ²）
　　　　　＝36,883 mm⁴
　
一方、中実円形断面の断面二次モーメントは、断面の直径ｄ（mm）とすると
　
　　　　Ｉ＝πd⁴／64
　
　従って、求める軸の径ｄは、
　　　　ｄ＝（64×Ｉ／π）^-4
　　　　　＝（64×36,883 mm⁴／π）^-4
　　　　　＝29.4mm
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ans 　29.4 mm
　
　　【備考】
　　（１）中実円形断面の断面二次モーメントについては、機械設計便覧等を参考にして下さい。
　　（２）上式で、－４乗は、４乗根と同じことを意味します。　


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